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一用样本回归方程进行预测或估计（第1页）

一、用样本回归方程进行预测或估计

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有了Y对X的回归方程，也就找到了X与Y之间变化的数量关系，对于任意一个Xi值都可以用此模型估计出与之对应的具体Y值或Y值的范围。

回归预测有点预测与区间预测两种。

点预测就是将确定的自变量Xi值直接代入回归模型，得到相应Yi值。

区间预测是以一定的概率为保证，预测当自变量X取一定的值Xi时，因变量Yi的可能范围。

在区间预测中，要以估计标准误为基础。

让我们先看点估计的例子。

【例12-5】下表是20名工作人员的智商和某一次技术考试成绩，根据这个结果求出考试成绩对智商的回归方程。

如果另有一名工作人员智商为120，试估计一下若让他也参加技术考试，将会得多少分？

答：根据这位没有参加技术考试的工作人员的智商，估计其技术考试的分数应该为80.5。

衡量Y值在估计值上下波动的统计量用以为中心的Y值的标准差，即前面谈过的误差的标准差sYX。

本例中：

在本章第一节曾指出，线性回归的基本假设之一是与每一个X值对应的Y值构成正态分布的子总体，且各个子总体方差相等。

因此回归线上下各一个sYX的区间内应包括所有数据个数的68%，上下各2个sYX区间内包括全部数据数目的95.44%。

当不需要考虑自由度或样本容量很大时，Y值以为中心的标准差为：

Y值以为中心的标准差为：

上例，若不考虑自由度时：

sYX＜sY，说明在回归线上下波动比在平均线上下波动要小，如图12-7所示。

图12-7回归分析中样本标准误差波动图示

一般来说相关系数与估计标准误差二者之间是反比关系。

用等式表示，相关系数与估计标准误的数量关系式如下：

前一个公式说明X与Y的离散程度，后一个公式说明相关点X与Y的关系紧密程度。

这个关系很容易证明：

因此，只要知道了相关系数r和sY，计算sYX就更容易了。

在【例12-5】中，r=0.86，从sY=11.63，代入公式12-21：

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